大きなものは小さなものより冷めにくい理由

「大きなものは小さなものではない」と題した私の連載小説の新たな章へようこそ。今回は「大きいもの vs. 小さいもの」編として、話題のアイテムをご紹介しましょう。ここには3つのアルミニウム製品があります。大きなブロック、小さなブロック、そしてヒートシンクです。

参考までに、大きいブロックの長さは約14センチ、小さいブロックの長さは約4センチです（ヒートシンクはそれより少し大きいです）。もちろん、これらの物体はどれも立方体ではありませんが、問題ありません。それで、私がやったことをご紹介します。これらをオーブンに約1時間入れて取り出しました。赤外線カメラで撮影した画像がこれです。

分かりにくいかもしれませんが、これは同じアルミ板3枚です。オーブンから取り出したばかりで、かなり熱くなっています（約140℃）。なぜかは分かりませんが、小さい方のブロックは既にかなり冷えているように見えます。とにかく、熱いです。オーブンから出して1時間経つと、こんな感じになります。

2つの小さなピースがほとんど見えないのにお気づきでしょうか？これは、周囲の温度とほぼ同じだからです。確かに、私のガレージは今かなり暑いです。しかし、大きなブロックはまだかなり温かいです。約51℃です。なぜでしょうか？それは、大きな物体と小さな物体は同じではないからです。

もちろん、これはあまり良い答えではありません。もっと良い答えがあります。

高温の物体は最終的に周囲の温度と平衡温度に達すると言っても、それほど驚くことではないかもしれません。アルミニウムの塊のような物体の場合、この熱相互作用は熱伝導（他の物体との接触）と熱放射によって起こります。ここでは、塊が主に放射によって冷却されると仮定しましょう。

ステファン・ボルツマンの法則は、特定の物体のエネルギー出力（放射電力）の速度を記述するものです。この電力は、物体の温度と表面積の両方に依存します。方程式で表すと、次のようになります（物体が放射のみを行い、外部からの放射を吸収しない完全な物体であると仮定した場合）。

この式において、Aは表面積、Tは温度、σは定数（当然ながらステファン・ボルツマン定数と呼ばれます）です。しかし、もちろん最も重要なのは面積です。面積が2倍になれば、電力も2倍になります。

さて、アルミブロックが2つあるとします。1つは1辺が1cm（ブロックA）、もう1つは2cm（ブロックB）です。どちらのブロックも最初は同じ温度（例えば100℃）で、90℃まで冷却します。両方のブロックの面積を計算して放​​射電力を求めることができます。では、計算してみましょう。

• ブロックAの面積 = 6 x (0.01 m) ² = 0.0006 m ² (各辺は正方形で、6つの辺があります)。
• ブロックBの面積 = 6 x (0.02 m) ² = 0.0024 m ²。

ブロックBは側面が大きいため、表面積が4倍になります。つまり、出力も4倍になります。つまり、冷却速度が速くなるはずですよね？そうでしょうか？そうではありません。確かに、ブロックが大きいほどエネルギーの減少速度は速くなりますが、同時にエネルギー量も大きくなります。

温度が100℃から90℃に上昇したときのエネルギー変化を見てみましょう。エネルギー変化は物体の質量と物質の種類によっても異なります。これは次の式で表すことができます。

この式では、mは当然質量、ΔTは温度変化です。もう一つの変数(c)は比熱です。これは、特定の物質における質量と温度あたりのエネルギー変化の尺度です。アルミニウムの比熱は1グラムあたり0.9ジュール/℃です。しかし、実際には、両方のブロックは同じ物質でできているため、比熱はそれほど重要ではありません。重要なのは質量です。唯一重要なことです。

立方体の辺の長さを2倍にすると、質量はどうなるでしょうか？密度を1立方センチメートルあたり2.7グラムと仮定して、この2つのブロックの質量を計算してみましょう。

• ブラックAの質量 = (2.7 g/cm ³ ) x (1 cm) ³ = 2.7グラム
• ブロックBの質量 = (2.7 g/cm ³ ) x (2 cm) ³ = 21.6 グラム

はい、ブロックBは長さが2倍しかないにもかかわらず、質量が8倍です。これが体積の仕組みです。質量が8倍になると、ブロックBの温度が100℃から90℃に上昇するのに必要なエネルギー変化は8倍になります。つまり、ブロックBの放射エネルギーは4倍大きいにもかかわらず、冷却には依然として時間がかかります。

先ほども言ったように、冷却に関してはサイズが重要です。

ここで現実世界における 3 つの例を挙げます。

• マフィンとクッキー。オーブンからクッキーを一回分取り出します。小さいクッキーは大きいクッキーよりも早く冷めます。
• 地球の核は月の核よりもはるかに高温です。その理由の一つは大きさです。地球は月よりもはるかに大きいため、冷えるのに時間がかかります。
• ヒートシンク。コンピューターのCPUはどのように冷却するのでしょうか？ヒートシンクを使うことができます。ヒートシンクは通常、非常に大きな表面積を持つようにカットされたアルミニウムブロックです。表面積が大きいほど、放射電力が高くなります。

最後にもう一つ。もし誰かが、超高温のアルミニウムの塊が放射だけで冷えるのにどれくらいの時間がかかるのかを知りたいとしたらどうでしょうか？（もしかしたら深宇宙かもしれません。理由は分かりませんが。）この問題は、それほど単純な解決策ではありません。冷却速度は温度に依存し（ステファン・ボルツマンの法則により）、冷却速度は一定ではありません。温度を計算する簡単な方法の一つは、問題を小さな時間ステップに分割することです。時間ステップが小さければ、電力はほぼ一定になり、それを使ってエネルギーの変化（そして温度の変化）を計算できます。

もちろん、問題を多くの小さな問題に分割するということは、多くの面倒な計算が必要になることを意味します。皆さんはどうか分かりませんが、私は退屈なことは飛ばしたいと思っています。だからこそ、これはPythonを使った数値計算に最適なケースなのです。

では、どうぞ。上の2つのアルミブロックの冷却計算です。1つだけ変更を加えました。100℃ではなく500℃です。コードを見てください（「鉛筆」アイコンをクリックするだけです）。自由に変更してください。壊れることはありません。

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