動くトレッドミルでホットウィールダービーに勝つ方法

2021年4月29日午前7時

もちろん、ただスピードを上げて、成り行きに任せることもできます。しかし、ある車が速く走り、別の車が横転するのには理由があります。

トレッドミルでホットウィール？どうしてもっと早く思いつかなかったんだろう？動画を見ればわかるように、この男は傾斜したトレッドミルにたくさんの小さな車を並べ、それからゆっくりとトラックの速度を上げていく。こうして出来上がったのが、即席のデモリション・ダービー。車がぶつかり合い、トレッドミルの後ろから投げ出される様子は、見ているだけでも楽しい。

もちろん、ここには物理学に関する疑問があります。それらにお答えします。

なぜ一部の車は他の車より速いのでしょうか?

これらの車が、摩擦の少ない傾斜面の上にある単なるブロックだと想像してみましょう。（その方が簡単です。）こうすることで、それぞれの車（ブロック）に作用する力を示すことができます。

力は3つあります。まず、下向きに引っ張る重力があります。これは物体の質量（m）と重力場（g = 9.8ニュートン/キログラム）の両方に依存します。これが最も簡単な力です。

次はF _Nです。これは法線力です。車と表面の間の相互作用です。この力の目的は、車が表面をすり抜けるのを防ぐことです。これは拘束力であり、つまり、ブロックを傾斜面に留めておくのにちょうど良い値を持つ力です。

最後に、動摩擦力（F _K）があります。この力は、法線方向の力の大きさと、相互作用する2つの物質に設定された摩擦係数という2つの要素に依存します。実際のホットウィールでは、動摩擦は車輪とトラックの間ではなく、車輪と車軸の間に生じます。

動摩擦力は次のようにモデル化できます。

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つまり、車と斜面の二つの表面が押し付けられるほど、動摩擦力は大きくなります。注：二つの表面が互いに滑っているため、動摩擦と呼ばれます。滑っていない場合は、静摩擦となります（そして、モデル化も少し異なります）。

しかし、これは車が線路を進む動きとどう関係するのでしょうか？車は平面に沿って下方向にのみ移動するように制約されているので、それをX軸とし、Y軸をそれに垂直な軸としましょう。まずは法線力を求めましょう。車のY加速度は0メートル/秒^²でなければなりません。そうでなければ、車は線路から外れてしまいます。そうすると、法線力は重力のY成分と等しくなります。（ただし、重力はY方向だけではないため、すべての重力成分が等しくなるわけではありません。）

x方向については、車が実際に坂を下る際に加速するため、状況は少し異なります。ニュートンの第二法則を用いると、x方向の正味の力は車の質量にx方向の加速度を乗じた値に等しいとされます。x方向には2つの力が働いています。摩擦力と重力の成分です。これらをまとめると、次の式が得られます。

動摩擦力のモデルを法線力 (y 方向から) の式と一緒に入力すると、傾斜を下る際の加速度に関して動摩擦係数を解くことができます。

でも、これは一体何の役に立つのでしょうか？では、実際のホットウィールの車の動摩擦係数を実際に求めてみませんか？難しくはありません。車を坂道で転がして、加速度（と傾斜角）を求めるだけです。ぜひ見てみてください。

ビデオ: レット・アラン

これで、お気に入りのビデオ解析プログラム（Tracker Video Analysis）を使って、ビデオの各フレームで車の位置をマークできるようになりました。傾斜面に定規が付いているので、傾斜に沿って測定した位置と時間のデータを取得できます。結果は以下のようになります。

車の加速度は一定なので、このデータは次のような運動方程式と一致するはずです。

このデータに放物線近似を施すと、t ²の前の項は運動方程式の項である(1/2)と一致するはずです。つまり、この特定の車の加速度は0.248 m/s ²になります。傾斜角も測定でき、3.7 ^{oと得られました。さて、上記の式に代入して、}この特定の車の動摩擦係数を求めると、0.039という値が得られます。これはかなり低い値で、氷同士が滑る際の摩擦係数とほぼ同じです。（これは良いことです。）

さて、これで「なぜ車によっては速く走れるものがあるのか？」という疑問への答えが分かりました。動摩擦係数が低い車は、より加速力が高く、より速く走れるからです。

なぜ一部の車は曲がるのでしょうか?

もし全ての車が真っ直ぐに走っていたら、このレースはつまらないものになるでしょう。幸いなことに、実際にはそうではありません。車が曲がる原因は様々ですが、おそらく2つのうちどちらかでしょう。1つは、車軸が曲がっている可能性があります。これは、実際の車でハンドルを切るのと非常によく似ています。

もう一つの理由は、一対の車輪の摩擦係数が異なることです。確かに、ホットウィールの車には2つの車軸があり、それぞれ独立して回転する2つの車輪が付いています。車の片側と反対側の摩擦係数が異なるとしましょう。こちらは、車に働く力（上から見た図）を示したもので、前輪の摩擦力のみを示しています。後輪についても同様です。

左輪にかかる力が右輪にかかる力よりも大きい場合、正味トルクが発生し、車は右に回転します。しかし、一部の曲がる車にとっては、これは問題になりません。例えば、車が左に曲がり、線路を斜め（真下ではなく）に進んでいるとします。すると、車輪に横向きの力が加わります。これにより、車の片側の車輪が車軸に押し込まれ、もう一方の車輪は車軸から引き離されます。この車輪の押し引きによって有効動摩擦係数が変化し、摩擦力の差によって車が反対方向に向きを変え、坂をまっすぐ下っていく可能性があります。このような幸運な車が、勝つ可能性が高いのです。

壁はどうですか?

車が左に曲がり、トレッドミルの左側に移動して側壁に接触したとします。そこに障害物があるため、車は左に移動し続けることはできません。浅い角度で衝突した場合、壁は車を「下り坂」に戻そうとする横方向の力を加えます。しかし、車が側壁に押し付け続けると、車の側面と壁の間に摩擦力が生じます。この摩擦力は傾斜を押し上げ、傾斜を下る正味の力を減少させます。この壁の摩擦力がちょうど良い大きさであれば、正味の力はゼロになり、車は加速せず、同じ位置に留まります。

トレッドミルの速度は本当に重要ですか?

上記の解析では、どの力もトレッドミルの速度に依存しません。車がトラックをまっすぐ走っている場合、トレッドミルの速度は関係ありません。しかし、車が斜めに走っている場合はどうでしょうか？現実のレースでは、どの方向にも走れる車が走るので、トラックの速度は明らかに重要です。さて、同じ速度 ( v ) でトラック上を走っている2台の車があると仮定しましょう。車が曲がるとどうなるでしょうか？

速度のラベルは何でしょう？速度は私たちの基準系に対する相対的な値です。2台の車は線路に対して相対的な速度を持っています。つまり、ATは線路に対する車Aの速度です。線路の速度はどうでしょうか？これは地面の基準系（TG）に対して測定されます。しかし、私たちが求めているのは地面に対する車の速度です。そのためには、次の速度変換を使用することができます。（より詳しい説明はこちら）

速度はベクトルなので、大きさと方向の両方が重要です。車Aの場合、トラックに対する車の速度とトラックの速度は大きさは同じですが、方向が逆です。これら2つを足し合わせると、地面に対する車Aの速度はゼロベクトルになります。（2つの速度は完全に打ち消されます。）しかし、車Bの場合、トラックに対する車の速度と地面に対するトラックの速度は方向が異なります。これらの速度はゼロベクトルにはならず、地面に対して横向きと後ろ向きの速度になります。つまり、車Bのトラック上での速度は車Aよりも遅くなり、レースに負けます。

つまり、この場合、曲がるのは負けです。でも、もし全ての車が「勝った」としたら、それは面白くないでしょう？

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